题目内容
【题目】（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，动点D在边AC上，动点P在边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连结AP、BD交于Q，两点运动的过程中，AP＝BD成立吗？请证明你的结论．
（2）如果把原题中的“动点D在边AC上，动点P在边BC上，”改为：“动点D在射线CA上、动点P在射线BC上运动，”其他条件不变，如图2所示，AP＝BD还成立吗？说明理由，并求出∠BQP的大小．
（3）如果把原题中的“动点P在边BC上”，改为“动点P在射线AB上运动”，连结DP交BC于E，其他条件不变，如图3，则动点D、P在运动过程中，请你写出DE与PE的数量关系．
【答案】（1）成立，理由见解析；（2）AP＝BD成立，理由见解析, 60°；（3）DE＝PE，理由见解析.
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，证明△ABP≌△BCD，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△ABP≌△BCD，根据全等三角形的性质得到AP＝BD，根据三角形的外角的性质求出∠BQP；
（3）作DH∥AB交BC于H，得到△CDH为等边三角形，得到DH＝CD，证明△HDE≌△BPE，根据全等三角形的性质证明．
解：（1）成立，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，
由题意得，CD＝BP，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD，
∴AP＝BD；
（2）AP＝BD成立，
理由如下：由题意得，CP＝AD，
∴CP+BC＝AD+AC，即BP＝CD，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD，
∴AP＝BD，∠APB＝∠BDC，
∵∠APC+∠PAC＝∠ACB＝60°，∠DAQ＝∠PAC，
∴∠BQP＝∠DAQ+∠BDC＝60°；
（3）DE＝PE，
理由如下：作DH∥AB交BC于H，
∵△ABC为等边三角形，DH∥AB
∴∠CDH＝∠A＝60°，∠CHD＝∠CBA＝60°，∠HDE＝∠P，
∴△CDH为等边三角形，
∴DH＝CD，
∵CD＝BP，
∴DH＝BP，
在△HDE和△BPE中，
，
∴△HDE≌△BPE，
∴DE＝PE．
