Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论：
①MB⊥BD；②FD=EC；③EC=EF+DG；④CE=

1

2

MD．
其中正确的有

①②④

（填序号）．

Answer 1

分析：由BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，易求得∠MBD=90°，即可证得MB⊥BD；由等腰三角形的判定，易得△BDF与△BMF是等腰三角形，△AEF是等腰三角形，继而可得FM=DF=BF=EC；由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，即可证得CE=

1

2

MD．

解答：解：①∵BD平分∠ABC，BM是∠ABC的外角平分线，
∴∠MBF=∠MBH=

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2

∠ABH，∠ABD=∠CBD=

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2

∠ABC，
∴∠MBD=∠MBF+∠ABD=

1

2

（∠ABH+∠ABC）=

1

2

×180°=90°，
∴MB⊥BD；正确；
②∵DM∥BC，
∴∠MBH=∠M，∠D=∠CBD，
∴∠M=∠MBF，∠D=∠ABD，
∴BF=FM=FD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵DM∥BC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴BF=CE，
∴FD=EC；正确；
③∵∠C与∠BGC的大小不确定，
∴DE不一定等于DG，
∵EC=DF=EF+DE，
∴EC不一定等于EF+DG；故错误；
④∵∠DBM=90°，FM=DF，
∴BF=

1

2

MD，
∴CE=

1

2

MD；故正确．
故答案为：①②④．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．