Question

请阅读材料：
①一般地，n个相同的因数a相乘：记为aⁿ，如2³=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为log=3（即=3）．　
②一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即=n），如3⁴=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算下列各对数的值：
log₂4=______；　 log₂16=______；　　log₂64=______．
（2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是______，那么log₂4、log₂16、log₂64存在的关系式是______．
（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log_aM+log_aN=______　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）请你运用幂的运算法则a^m•aⁿ=a^m+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．

Answer 1

解：（1）∵2²=4，∴log₂4=2，
∵2⁴=16，∴log₂16=4，
∵2⁶=64，∴log₂64=6；

（2）4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；

（3）log_aM+log_aN=log_a（MN）；

（4）证明：设log_aM=x，log_aN=y，
则ax=M，ay=N，
∴MN=ax•ay=a^x+y，
∴x+y=log_a（MN）即log_aM+log_aN=log_a（MN）．
故答案为：2，4，6．
分析：（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）有特殊到一般，得出结论：log_aM+log_aN=log_a（MN）；
（4）首先可设log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根据幂的运算法则：aⁿ•a^m=a^n+m以及对数的含义证明结论．
点评：此题主要考查了同底数幂的乘法应用，本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．