题目内容
14、将2，3，4，5…n（n为大于4的整数）分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数．那么，整数n可以取得的最大值是
28
．分析：先找出两组数之间的规律，即将某一平方数表示成两个数的之后，这两个数必不能分在同一组，再由此规律找出符合条件的最大整数即可．
解答：解：{2，3，4，5…n}为了将这些分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全数，那么将某一平方数表示成两个数的和之后，这两个数必不能分在同一组．比如9=2+7，那么2、7必须要分在不同的组．
我们假设分成的这两组数是
A={a1，a2…ai}，
B={b1，b2，…bj}，
那么必有 ak∈A，而m2-ak≠ak时，必有 {m2-ak}∈B （其中m=2，3，4，5…），
同样地，也必有bk∈B时，而m2-bk≠bk时，必有 {m2-bk}∈A （m=2，3，4，5…），
这样，不失一般性，我们假设2分在A组，即 a1=2，
那么 {m2-2}∈B
b1=32-2=7，
b2=42-2=14，
b3=52-2=23
同样地，当 b1=7时 {m2-7}∈A，即
{42-7，52-7，62-7…}∈B，
这样，我们有：
A={2，9，18，29，11，4，13，6，8，15，20，22，24，26，28}
B={7，14，23，34，5，12，3，10，16，17，19，21，25，27}
这种分组方案是不可调整的，就是说，无论从A取什么数到B，B中都会出现两个数的和是完全平方数，同样地，也不能从B中取某数到A中．
所以，n的最大值是28．
故答案为：28．
我们假设分成的这两组数是
A={a1，a2…ai}，
B={b1，b2，…bj}，
那么必有 ak∈A，而m2-ak≠ak时，必有 {m2-ak}∈B （其中m=2，3，4，5…），
同样地，也必有bk∈B时，而m2-bk≠bk时，必有 {m2-bk}∈A （m=2，3，4，5…），
这样，不失一般性，我们假设2分在A组，即 a1=2，
那么 {m2-2}∈B
b1=32-2=7，
b2=42-2=14，
b3=52-2=23
同样地，当 b1=7时 {m2-7}∈A，即
{42-7，52-7，62-7…}∈B，
这样，我们有：
A={2，9，18，29，11，4，13，6，8，15，20，22，24，26，28}
B={7，14，23，34，5，12，3，10，16，17，19，21，25，27}
这种分组方案是不可调整的，就是说，无论从A取什么数到B，B中都会出现两个数的和是完全平方数，同样地，也不能从B中取某数到A中．
所以，n的最大值是28．
故答案为：28．
点评：本题考查的是完全平方数，根据题意找出两组数之间的规律是解答此题的关键．
练习册系列答案
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