Question

设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90度．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于

 

．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可知C点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的长，进而可求出B点的坐标，也就求出了m的值，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．
（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE的解析式求出E点和D点的坐标，经过求解不难得出∠FDB=∠DBO=45°，因此本题要分两种情况进行讨论：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP的长，进而可求出P点的坐标．
（3）以求△BP₁D的外接圆半径为列进行说明：先作△BPD的外接圆，过P作直径PM，连接DM，那么不难得出△PMD和△FBD相似，可得出

DP

PM

=

DF

BD

，可先求出DP，DF，BD的长，而PM是圆的直径，由此可求出△BPD的外接圆的半径．

解答：解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²
∴OB=

OC2

OA

=

22

1

=4，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得n=-3，
由

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=x+1

，得

x1=-1 y1=0

，

x2=6 y2=7

，
∴E（6，7），
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，则

BP1

AB

=

BD

AE

∴BP₁=

AB•BD

AE

=

5×3 2

7 2

=

15

7

∴OP₁=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₁（

13

7

，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，则

BP2

AE

=

BD

AB

∴BP₂=

AE•BD

AB

=

7 2 ×3 2

5

=

42

5

∴OP₂=

42

5

-4=

22

5

∴P₂（-

22

5

，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P₁（

13

7

，0）或P₂（-

22

5

，0）．

（3）

3 106

14

或

3 53

5

．
如图所示：先作△BPD的外接圆，过P作直径PM，连接DM，
∵∠PMD=∠PBD，∠DFP=∠PDM，
∴△PMD和△FBD相似，
∴

DP

PM

=

DF

BD

，
∴PD=

( 13 7 -1)2+(-3)2

=

477 49

=

3 53

7

，
DF=3，
BD=

(1-4)2+(-3)2

=3

2

，
∴PM=

DP•BD

DF

=

3 106

7

，
∴△BPD的外接圆的半径=

3 106

14

；
同理可求出当P点在x轴的负半轴上时，△BPD的外接圆的半径=

3 53

5

．

点评：本题考查二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形相似以及△外接圆的半径的求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
（要注意区别三角形内切圆和外接圆半径求法的不同：三角形内切圆半径通常用公式法求解．而三角形外接圆半径通常要通过构建相似三角形来求解）．