题目内容
阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q，易说明△APD∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形
验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由．
连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么？
探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？
分析：（1）通过角的转化得出∠APD=∠CDQ，进而可得出△APD∽△CQD；
（2）与延长线交于一点，但并不影响∠APD=∠CDQ，所以仍成立；
（3）只要△ABC是等腰三角形，且∠EDF=∠A，结论就成立．
（2）与延长线交于一点，但并不影响∠APD=∠CDQ，所以仍成立；
（3）只要△ABC是等腰三角形，且∠EDF=∠A，结论就成立．
解答：解：（1）∵∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CDQ；
（2）成立；如图所示，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
又∠A=∠C，
∴△APD∽△CDQ，
∵△APD∽△CDQ，
∴
=
=
，
∵AD=CD，
∴
=
，
∵∠A=∠C=∠PDQ，
∴△APD∽△DPQ；
（3）可以，将两三角板改为一个更为一般的条件：AB=BC，∠EDF=∠A，D为AC中点．
∴∠A=∠C=30°，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CDQ；
（2）成立；如图所示，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
又∠A=∠C，
∴△APD∽△CDQ，
∵△APD∽△CDQ，
∴
| AP |
| CD |
| AD |
| CQ |
| PD |
| DQ |
∵AD=CD，
∴
| AP |
| AD |
| PD |
| DQ |
∵∠A=∠C=∠PDQ，
∴△APD∽△DPQ；
（3）可以，将两三角板改为一个更为一般的条件：AB=BC，∠EDF=∠A，D为AC中点．
点评：能够利用一些角的转化求解一些简单的相似问题．
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