Question

（本题满分12分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折
叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

【小题1】（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
【小题2】（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
【小题3】（3）如图（2），设抛物线经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

Answer 1

【小题1】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°．
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE．
在Rt△ABF中，BF=．∴FC="4. "
设FE=DE=x，在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5，CE=8-x=3．
∵B（m，0），   ∴E(m+10，3)，F（m+6，0）．
【小题2】（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6，∴m=6． 
若FO=FA，则m+6=10，解得m=4．
若OA=OF，在Rt△AOB中，，
∴，解得m=．     
综上所述：m=6或4或
【小题3】（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3)，由题意得，
，解得               
∴M（m＋6，－1）．设抛物线的对称轴交AD于G．
∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=9．
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，∴∠OAB=∠MAG．
又∵∠ABO=∠MGA=90°， ∴△AOB∽△AMG．

解析