Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当动点P运动到何处时，BP²＝BD·BC；
(3)当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

解：(1)由题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x－4；
(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP²＝BD·BC，
令x＝0时，则y＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)．
∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，
∴．
∵BC＝，
AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2．
∴BD＝＝＝．
∵BP²＝BDBC，
∴(x＋2)²
解得x₁＝，x₂＝－2(－2不合题意，舍去)，
∴点P的坐标是(，0)，
即当点P运动到(，0)时，BP²＝BD·BC；
(3)∵△BPD∽△BAC，∴，
∴×S_△BPC
＝×(x＋2)×4－
∵，
∴当x＝1时，S_△BPC有最大值为3．即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积最大．