Question

(本题满分12分) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

小题1:（1）求证：PC是⊙O的切线；
小题2:（2）求∠P的度数；
小题3:（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。

Answer 1

小题1:（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            
∴∠A=∠ACO=∠PCB     ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°       …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半径                    
∴PC是⊙O的切线
小题2:（2）∵PC="AC " ∴∠A=∠P

m

D

        ∴∠A=∠ACO=∠P         ………………5分

        ∵∠A＋∠ACO＋∠PCO＋∠P=180°
∴3∠P=90°                
∴∠P=30°
小题3:(3) ∵点M是半圆O的中点  ∴∠BCM=45°………7分
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°∴BC=AB="2" ……8分
作BD⊥CM于D，∴CD=BD= ∴DM= 
∴CM=           …………………9分
∴S_△BCM=  ………………10分
∵∠BOC=2∠A=60°  ∴弓形BmC的面积= …………11分
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为

略