题目内容
（2009•广安）已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）解方程x2-5x+4=0，求出两根，得到OA，OC的长，即可以得到A，C两点的坐标，已知抛物线的对称轴是x=1，A，B一定关于对称轴对称，因而B的坐标也可以相应求出．
（2）已知A，B，C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）已知DE∥BC，则得到△AED∽△ACB，AB，AC的长度可以根据第一问求出，AD可以用m表示出来，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长（用m表示）．△DEC与△ABC的CE，AC边上的高的比，就是△AED和△ACB的相似比，因而EC边上的高也可以用m表示出来，则函数解析式就可求出．
S是否存在最大值，可以转化为求函数的最值问题．根据函数的性质就可以得到．
解答：解：（1）∵OA、OC的长是x2-5x+4=0的根，OA＜OC，
∴OA=1，OC=4，
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A（-1，0）C（0，-4），
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
∴由对称性可得B点坐标为（3，0），
∴A、B、C三点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）；
（2）∵点C（0，-4）在抛物线y=ax2+bx+c图象上，
∴c=-4，
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-4，
得
，
解之得
，
∴所求抛物线解析式为：
；
（3）根据题意，BD=m，则AD=4-m，
在Rt△OBC中，BC=
=5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
∴
，
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=
，
∴
，
∴EF=
DE=
=4-m，
∴S△CDE=S△ADC-S△ADE=
（4-m）×4
（4-m）（4-m）
=
m2+2m（0＜m＜4）
∵S=
（m-2）2+2，a=
＜0
∴当m=2时，S有最大值2．
∴点D的坐标为（1，0）．
点评：本题综合运用了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，以及求函数的最值．
（2）已知A，B，C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）已知DE∥BC，则得到△AED∽△ACB，AB，AC的长度可以根据第一问求出，AD可以用m表示出来，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长（用m表示）．△DEC与△ABC的CE，AC边上的高的比，就是△AED和△ACB的相似比，因而EC边上的高也可以用m表示出来，则函数解析式就可求出．
S是否存在最大值，可以转化为求函数的最值问题．根据函数的性质就可以得到．
解答：解：（1）∵OA、OC的长是x2-5x+4=0的根，OA＜OC，
∴OA=1，OC=4，
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A（-1，0）C（0，-4），
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
∴由对称性可得B点坐标为（3，0），
∴A、B、C三点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）；
（2）∵点C（0，-4）在抛物线y=ax2+bx+c图象上，
∴c=-4，
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-4，
得
，解之得
，∴所求抛物线解析式为：
；（3）根据题意，BD=m，则AD=4-m，
在Rt△OBC中，BC=
=5，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，∴
，过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=
，∴
，∴EF=
DE==4-m，∴S△CDE=S△ADC-S△ADE=
（4-m）×4（4-m）（4-m）=
m2+2m（0＜m＜4）∵S=
（m-2）2+2，a=＜0∴当m=2时，S有最大值2．
∴点D的坐标为（1，0）．
点评：本题综合运用了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，以及求函数的最值．
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