Question

设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90度．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，-3）是否在抛物线上；
（3）已知过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可知OC=2，由于∠ACB=90°，可根据射影定理求出OB的长，即可得出B点的坐标，也就得出了m的值．然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）将D点的坐标代入（1）得出的抛物线的解析式中，即可判断出D是否在抛物线上．
（3）本题要分情况进行讨论，如果过E作x轴的垂线，不难得出∠DBx=135°，而∠ABE是个钝角但小于135°，因此P点只能在B点左侧．可分两种情况进行讨论：
①∠DPB=∠ABE，即△DBP∽△EAB，可得出BP：AP=BD：AE，可据此来求出P点的坐标．
②∠PDB=∠ABE，即△DBP∽△BAE，方法同①，只不过对应的成比例线段不一样．
综上所述可求出符合条件的P点的值．

解答：解：（1）令x=0，得y=-2
∴C（0，-2）
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²
∴OB=

OC2

OA

=

4

1

=4
∴m=4

（2）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
解得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
当x=1时，y=

1

2

x²-

3

2

x-2=-3，
∴点D（1，-3）在抛物线上．

（3）由得

x1=-1 y1=0

x2=6 y2=7

，
∴E（6，7），
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°，
作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，则

BP1

AB

=

BD

AE

，
∴BP₁=

AB•BD

AE

=

5×3 2

7 2

=

15

7

∴OP₁=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₁（

13

7

，0）；
②若△DBP₂∽△BAE，则

BP2

AE

=

BD

AB

，
∴BP₂=

AE•BD

AB

=

7 2 •3 2

5

=

42

5

∴OP₂=

42

5

-4=

22

5

∴P₂（-

22

5

，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P₁（

13

7

，0）或P₂（-

22

5

，0）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．