Question

如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

Answer 1

解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，
则AO=m=2.4m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边，
∴OD==1.5m，
∴据BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；

（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；

（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大．
如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，
此时，S_△AOB==×2.5×1.25=1.5625．
所以△AOB的最大面积为1.5625m²．
分析：（1）在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AO的长度，根据AO=AC+OC即可求得OC的长度，在直角三角形CDO中，已知AB=CD，CO即可求得OD的长度，根据BD=OD-OB即可求得BD的长度．
（2）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断；
（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，就可以求出．
点评：此题考查了勾股定理的应用，利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解△AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键．