题目内容

如图，已知在⊙O中，OB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD 于F，图中阴影部分的面积为 $数学公式$
（1）求BD的长及∠A的度数
（2）若阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

解：（1） $\text{[math]}$
n=120°
∵OC⊥BD，AC为直径，
∴AC平分BD，
∴BD=2BF，
在Rt△OBF中，∠BOF=60°，BO=4，BF= $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$ ，
∠BOF=∠A+∠ABO=60°，
∵OB=OA
∴∠A=∠ABO=30°

（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：（1）首先根据扇形面积公式求得∠BOD=120°；然后由垂径定理推知BD=2BF；最后在Rt△OBF中求得∠BOF=∠A+∠ABO=60°，由等腰三角形的性质推知∠A=∠ABO=30°；
（2）根据圆锥的侧面积的计算方法来求所围成的圆锥的底面圆的半径．
点评：本题综合考查了勾股定理、圆锥的计算、等腰三角形的性质以及扇形的面积公式．解答（1）时，利用垂径定理求得BD=2BF是解题的关键所在．