Question

如图，把一个正三角形的每一边三等分，取中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，重复上述两步，画出更小的正三角形；一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做“科镂曲线”，又称为“雪花曲线”．已知图①中正三角形的周长为C₁=3，图②中图形的周长C₂=4，按此规律下去，第5个图形的周长C₅=

256

27

．

Answer 1

分析：由于图①中正三角形的周长为C₁=3，观察图形得到图②在图①的基础上每边多了边长的

1

3

，则图②中的图形的周长C₂=3+

1

3

×3=3+1=4，图③在图②的基础上每边多了边长的

1

9

，得到图③中正三角形的周长为C₃=4+

1

3

×

1

3

×3×4=

16

3

，于是得到图④中图形的周长C₄=

16

3

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4，图⑤中图形的周长C₅=

64

9

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4×4．

解答：解：图①中正三角形的周长为C₁=3，
图②中图形的周长C₂=3+

1

3

×3=3+1=4，
图③中正三角形的周长为C₃=4+

1

3

×

1

3

×3×4=

16

3

，
图④中图形的周长C₄=

16

3

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4=

64

9

，
图⑤中图形的周长C₅=

64

9

+

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

×3×4×4×4=

256

27

．
故答案为

256

27

．

点评：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．