Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝6cm，AD＝8cm，AB＝10cm，点E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点G从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接OE，过点G作GF∥BD，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△BOE是等腰三角形？

（2）设五边形OEBGF面积为S，试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OEBGF：S△ACD＝19：40？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得OB平分∠COE，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t为3或或秒；（2）S五边形BEOFG＝﹣t+12；（3）2秒；（4）存在t为秒时，使OB平分∠COE

【解析】

（1）证出△ADB为直角三角形，且∠ADB＝90°，分以下三种情况讨论，①当BO＝BE时，可得出t＝3，②当BO＝EO时，如图1，过点O作OH⊥BE于点H，证明△BOH∽△BAD，可得出答案；③当BE＝OE，如图2，过点E作EK⊥OB于点K，证明△BEK∽△BAD，由比例线段可得出答案；

（2）证明△CFG∽△COB，求出S△CFG＝，根据S五边形BEOFG＝S△BOE+S四边形BOFG可得出答案；

（3）由（2）的结论可得出t的方程，解方程即可得解；

（4）证明△EOK∽△COB，可得出，则可得解．

（1）在△ADB中，

∵AD2+BD2＝82+62＝100＝AB2，

∴△ADB为直角三角形，且∠ADB＝90°，

若△BOE为等腰三角形，分以下三种情况讨论，

①当BO＝BE时，

t＝3，

②当BO＝EO时，如图1，过点O作OH⊥BE于点H，

∵∠ABD＝∠ABD，∠OHB＝∠ADB＝90°，

∴△BOH∽△BAD，

∴，

即，

则BH＝，OH＝，

∵OE＝OB，OH⊥BE，

∴BH＝BE，

即，

∴t＝，

③当BE＝OE，如图2，

过点E作EK⊥OB于点K，

∵∠ABD＝∠ABD，∠BKE＝∠ADB＝90°，

∴△BEK∽△BAD，

∴，

即，

∴BK＝t，EK＝t，

∵OE＝EB，EK⊥BO，

∴BK＝BO，

即，

∴t＝，

答：当t为3或或秒时，△BOE是等腰三角形；

（2）∵GF∥BD，

∴∠CFG＝∠COB，∠CGF＝∠CBO，

∴△CFG∽△COB，

∴，

∴S△CFG＝，

∴S四边形BOFG＝S△BOC﹣S△CFG＝12﹣，

∵S△BOE＝BE×OH＝，

∴S五边形BEOFG＝S△BOE+S四边形BOFG＝12﹣＝﹣t+12，

（3）若S五边形OEBGF：S△ACD＝19：40，

∴，

整理得：5t2﹣8t﹣4＝0，

解得：t1＝（舍去），t2＝2．

答：存在t为2秒时，使S五边形OEBGF：S△ACD＝19：40；

（4）若OB平分∠COE，

则∠BOE＝∠BOC，∠EKO＝∠CBO＝90°，

∴△EOK∽△COB，

∴，

∴，

解得：t＝．

答：存在t为秒时，使OB平分∠COE．