题目内容

如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，…（1分）
∵∠B=30°，
∴AB=2AC，…（3分）
∵AB²=AC²+BC²，
∴AB²= $\text{[math]}$ AB²+6²，…（5分）
∴AB=4 $\text{[math]}$ ． …（6分）

（2）连接OD．

∵AB=4 $\text{[math]}$ ，∴OA=OD=2 $\text{[math]}$ ，…（8分）
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，…（9分）
∴S_△AOD= $\text{[math]}$ OA•OD= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ =6，…（10分）
∴S_扇形△AOD= $\text{[math]}$ •π•OD²= $\text{[math]}$ •π•（2 $\text{[math]}$ ）²=3π，…（11分）
∴阴影部分的面积=S_扇形△AOD-S_△AOD=3π-6． …（12分）
分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB=4 $\text{[math]}$ 可以推知OA=OD=2 $\text{[math]}$ ；然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得
阴影部分的面积=S_扇形△AOD-S_△AOD．
点评：本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．