Question

抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P,使,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)y=-x²+2x+3；(2) P坐标为（,）、（,）；（,）；
（,）．

试题分析：（1）设出抛物线的顶点形式为y=a（x-1）²+4，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）存在，设出P（a，-a²+2a+3），直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积的一半，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离的2倍，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．
试题解析：（1）设抛物线的顶点形式为y=a（x-1）²+4，
将A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）存在这样的P点，
设P（a，-a²+2a+3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AB解析式为y=-x+3，
∵S_△ABP=S_△ABC，且两三角形都以AB为底边，
∴P到直线AB的距离等于C到直线AB距离的，
∵C（1，4）到直线AB的距离d=，
∴P到直线AB的距离d=，
即|-a²+3a|=1，
整理得：a²-3a-1=0或a²-3a+1=0，
解得：a=或a=
当a=时，-a²+2a+3=-；
当a=时，-a²+2a+3=-；
当a=时，-a²+2a+3=-；
当a=时，-a²+2a+3=-.
则满足题意的P坐标为（,）、（,）；（,）；
（,）．
考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．