题目内容

如图，等边三角形ABC中，AB=2，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，设梯形DBCE的中位线长为x，△ADE的面积为y．
（1）写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当S_梯形DBCE=3S_ADE时，求梯形DBCE的中位线长．

解：（1）∵等边三角形ABC中，AB=2，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵梯形DBCE的中位线长为x，
∴DE=2x-2，
∵DE∥BC，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
∴y= $\text{[math]}$ x²-2 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）设S_△ADE=S，则S_梯形DBCE=3S，S_△ABC=4S，
∵△ADE∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得DE=1，
∴梯形DBCE的中位线长为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为：y= $\text{[math]}$ x²-2 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据等边三角形ABC中，AB=2求出三角形的面积，再根据DE∥BC可判断出△ADE∽△ABC，由梯形DBCE的中位线长为x得出DE的长，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答；
（2）设S_ADE=S，则S_梯形DBCE=3S，再由相似三角形的性质求出DE的长，再根据梯形的中位线定理即可求出答案．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及梯形的中位线定理，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．