Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l₁经过点O和点A，将直线l₁绕点O逆时针旋转90°，再向上平移2个单位长度得到直线l₂．
（1）写出直线l₁绕点O逆时针旋转90°后点A的对应点A′的坐标；
（2）求直线l₁与l₂的解析式；
（3）若点P在x轴上，且满足△PAA′是等腰三角形，请你在图中用尺规作图法作出所有满足条件的点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）．

Answer 1

分析：注意到图中直线过点O和点A，绕原点逆时针转90°画出相应的图形，很容易得出点A′的坐标；由两个点的坐标进一步求解析式；
P在x轴上，且满足△PAA'是等腰三角形，有PA=PA′、PA=AA′、PA′=AA′三种情况．

解答：解：（1）由图象可知：点A的坐标是（2，4），A′的坐标是（-4，2）．

（2）设直线l₁的解析式是y=k₁x
得2k₁=4即k₁=2
∴直线l₁的解析式是y=2x
设直线l₁绕点O逆时针旋转90°后的直线解析式是y=k₂x
把点A′（-4，2）代入y=k₂x，得-4k₂=2，解得k2=-

1

2

即y=-

1

2

x
∴直线l₂的解析式是y=-

1

2

x+2
说明：可用其他方法求直线l₂的解析式．

（3）满足条件的点P有三种情形′
，
PA=PA′时作AA′的垂直平分线，交x轴于点P
PA=AA′以A为圆心AA'为半径作圆，与x轴交于点P
PA′=AA′以A′为圆心AA'为半径作圆，交x轴于点P
如图所示P点为满足条件的位置．

点评：线的旋转可以转换为点的旋转，找到对应的点即可求出解．做题时要注意到有多种情况满足要求，考虑要周到，注重培养严谨的态度．