题目内容
（2003•荆门）如图，二次函数y=x2经过三点A、B、O，其中O为坐标原点．点A的坐标为（1，1），∠BAO=90°，AB交y轴于点C．（1）求点C、点B坐标；
（2）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A、B两点，且对称轴经过Rt△BAO的外接圆圆心，求该二次函数解析式；
（3）若二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过A、B两点，且与x轴有两个不同的交点，试求出满足此条件的一个二次函数的解析式．
【答案】分析：（1）可先求直线AB的解析式，然后再求C、B的坐标．由于直线AB与直线OA垂直，因此两直线的斜率的乘积为-1，先求出直线OA的解析式，然后将A点的坐标代入直线AB中即可求出直线AB的解析式．
（2）直角三角形BAO的外接圆的圆心必为OB的中点，因此抛物线的对称轴方程应该是B点横坐标的一半，然后在讲A、B坐标代入抛物线的解析式中即可求出二次函数的解析式．
（3）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c，然后根据抛物线与x轴有两个交点，那么y=0时方程的△＞0，据此可求出a的取值范围，据此可判断出二次函数的解析式．
解答：解：（1）易知直线OA的解析式为y=x，由于OA⊥AB，设直线AB的解析式为y=-x+h．
则有：-1+h=1，h=2，
∴直线AB的解析式为y=-x+2．
∴C（0，2）．
由于B是直线AB与抛物线y=x2的交点，
则有
，
解得
，
，
∴B（-2，4）．
（2）由题意可知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1．
则有：
，
解得
，
∴y=-x2-2x+4．
（3）根据题意有：
，
解得
，
∴y=ax2-（a-1）x+2-2a，
由于抛物线与x轴有两个不同交点，
令y=0，ax2-（a-1）x+2-2a=0，
△=（a-1）2-4a（2-2a）=9a2-10a+1=（9a-1）（a-1）＞0，且a＞0
∴0＜a＜
或a＞1，
∴二次函数的解析式为y=2x2-x-2（答案不唯一）．
点评：本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象交点以及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
（2）直角三角形BAO的外接圆的圆心必为OB的中点，因此抛物线的对称轴方程应该是B点横坐标的一半，然后在讲A、B坐标代入抛物线的解析式中即可求出二次函数的解析式．
（3）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c，然后根据抛物线与x轴有两个交点，那么y=0时方程的△＞0，据此可求出a的取值范围，据此可判断出二次函数的解析式．
解答：解：（1）易知直线OA的解析式为y=x，由于OA⊥AB，设直线AB的解析式为y=-x+h．
则有：-1+h=1，h=2，
∴直线AB的解析式为y=-x+2．
∴C（0，2）．
由于B是直线AB与抛物线y=x2的交点，
则有
，解得
，，∴B（-2，4）．
（2）由题意可知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1．
则有：
，解得
，∴y=-x2-2x+4．
（3）根据题意有：
，解得
，∴y=ax2-（a-1）x+2-2a，
由于抛物线与x轴有两个不同交点，
令y=0，ax2-（a-1）x+2-2a=0，
△=（a-1）2-4a（2-2a）=9a2-10a+1=（9a-1）（a-1）＞0，且a＞0
∴0＜a＜
或a＞1，∴二次函数的解析式为y=2x2-x-2（答案不唯一）．
点评：本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象交点以及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
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