Question

体验一下生活中的数学：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=20千米，BD=60千米，且CD=60千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
①请你在河流CD上找出水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省．
②求出铺设水管最节省的总费用是多少？

Answer 1

解：①作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点为M，点M即为所求作的点，过点A′作AA′的垂线，延长BD
交AA′于点K．
∵AC∥BD，CD∥A′K，
∴A′K=CD=60千米，BK=BD+DK=60+20=80千米，
在Rt△A′BK中，
A′B===100（千米）．

②∵铺设水管的费用为每千米3万元，
∴所需费用=100×3=300（万元）．
答：铺设水管最节省的总费用是300万元．
分析：先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点，过点A′作AA′的垂线，延长BD
交AA′于点K，根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．
点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．