Question

19、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD交AB的延长线于D，
∠DCB=∠CAB．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若CD=4，BD=2，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：（1）要证CD为⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可，由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，只要∠DCB=∠ACO，由半径及已知∠DCB=∠CAB可得答案；
（2）可设出半径，用半径表示出OD，在直角三角形OCD中，利用勾股定理可求得半径的值．

解答：证明：（1）∵∠DCB=∠CAB，∠CAB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°
∴CD为⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，则OD=R+2，
∵CD=4，BD=2，∠OCD=90°，
由勾股定理得R²+4²=（R+2）²，
解得：R=3，
∴⊙O的半径长为3．

点评：本题考查了切线的判断及性质及勾股定理的知识；证明过半径的外端点且垂直与这条半径的直线是圆的切线是常用的方法，求圆的半径常常用勾股定理，这些方法十分重要，要熟练掌握．