Question

已知关于x的一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）设x₁，x₂是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立，若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=4a²-4（a-6）•a≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

2a

a-6

，x₁x₂=

a

a-6

，再根据已知条件得

a

a-6

=4-

2a

a-6

，然后解方程即可．

解答：解：（1）根据题意得a-6≠0且△=4a²-4（a-6）•a≥0，
解得a≥0且a≠6；

（2）存在．
根据题意得x₁+x₂=-

2a

a-6

，x₁x₂=

a

a-6

，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，即x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴

a

a-6

=4-

2a

a-6

，
解得a=24，
∵a≥0且a≠6，
∴a=24时，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系．