题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为直径的⊙C与AB交于点D，DE与⊙C相切交x轴于点E，且 OA=12
3
cm，∠OAB=30°．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）过点B作BG⊥EC于F，交x轴于点G，求BD的长及点F的坐标；
（3）设点P从点A开始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时从点A开始沿AG匀速向点G移动，当四边形CBPQ为平行四边形时，求点Q的移动速度．
分析：（1）根据OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12
3
，可得AB=2OB，求出AO的长，进而求出直线AB的解析式即可；
（2）利用切线的性质定理以及勾股定理得出EO的长，进而求出FM，MO的长即可；
（3）根据当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形，点Q与点E重合，以及 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，分别得出答案．
解答：解：（1）由OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12
3
，可得AB=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
∵OA=12
3
，
∴A （12
3
，0）．
可设直线AB的解析式为：y=ax+b，
∴
b=12
12
3
a+b=0
，
∴
a=-
3
3
b=12
，
∴可得直线AB的解析式为：y=-
3
3
x+12．

（2）连接CD，过F作FM⊥x轴于点M，则CB=CD．
∵∠OBA=90°-∠A=60°，
∴△CBD是等边三角形．
∴BD=CB=
1
2
OB=6，
∠BCD=60°，∠OCD=120°．
∵OB是直径，OA⊥OB，
∴OA切⊙C于O．
∵DE切⊙C于D，
∴∠COE=∠CDE=90°，∠OEC=∠DEC．
∴∠OED=360°-∠COE-∠CDE-∠OCD=60°．
∴∠OEC=∠DEC=30°．
∴CE=12，CO=6．
∴在Rt△COE中，由勾股定理OE=
CE2-CO2
=6
3
．
∵BG⊥EC于F，
∴∠GFE=90°．
∵∠GBO+∠BGO=∠OEC+∠BGO，
∴∠GBO=∠OEC=30°．
故可得FC=
1
2
BC=3，EF=FC+CE=15，
FM=
1
2
EF=
15
2
，ME=
3
FM=
15
3
2
．
∴MO=
15
3
2
-6
3
=
3
3
2
．
∴F（-
3
3
2
，
15
2
）．

（3）设点Q移动的速度为vcm/s．
（ⅰ）当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形，点Q与点E重合．
可得AP=12，  t=
AP
4
=3．
∴v=
AE
t
=
6
3
3
=2
3
（cm/s）．
（ⅱ） 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，
PQ∥BC，PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形．
可得OG=4
3
，BG=8
3
．从而PB=4
3
，OQ=2
3
．
∴t=
AB+BP
4
=
24+4
3
4
=6+
3
．
∴v=
AQ
t
=
12
3
+2
3
6+
3
=
28
3
-14
11
（cm/s）．
∴点Q的速度为2
3
cm/s或
28
3
-14
11
cm/s．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及平行四边形的性质和勾股定理的应用，根据已知点P运动的位置进行分类讨论得出是解题关键．
练习册系列答案
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3
4
．
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1
8
x2-
14
3
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a+2
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