题目内容

题甲：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G．
（1）求证： $数学公式$ ；
（2）若GE=2，BF=3，求线段EF的长．
题乙：如图，反比例函数y= $数学公式$ 的图象，当-4≤x≤-1时，-4≤y≤-1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M，N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．

甲题：
（1）证明：∵AD∥BC
∴△GED∽△GBC
∴ $\text{[math]}$
又∵点E是边AD的中点
∴AE=ED
∴ $\text{[math]}$

（2）解：∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴ $\text{[math]}$
由（1）知 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
设EF=x，则GB=5+x，
则有 $\text{[math]}$
即x²+5x-6=0
解得：x=1或x=-6，
经检验，x=1或x=-6都是原方程的根，但x=-6不合题意，舍去．
故EF的长为1．

乙题：
解：（1）因为反比例函数的图象经过点（-1，-4）
有 $\text{[math]}$
∴k=4
所以反比例函数的解析式为 $\text{[math]}$ ．

（2）当M，N为-，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将y=x代入 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
即M（2，2），N（-2，-2）．
∴OM=2 $\text{[math]}$ ．
则MN=4 $\text{[math]}$ ．
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4 $\text{[math]}$ ．
分析：甲：（1）因为AD∥BC，所以△GED∽△GBC，所以两三角形的对应边成比例；又点E是边AD的中点，AE=ED．此题得证
（2）AD∥BC还可以得到△AEF∽△CBF，又AE=ED，通过等量代换即可得到GE、GB、EF、FB之间的关系．
乙：（1）图象经过A（-1，-4），可用待定系数法求解．
（2）考虑经过原点并且在同一直线上，也就成了线段MN．
点评：题甲：主要考查相似三角形对应边成比例，点E是边AD的中点得AE=ED是突破口
题乙：主要考查待定系数法求反比例函数解析式，猜想时首选经过原点．