题目内容
如图所示,△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作BC的平行线交AC于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
求证:(1)△DCF是直角三角形;(2)DE=EF.
证明:(1)∵DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,
∴∠ACD=∠ACB,∠ACF=∠ACM,
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=(∠ACB+∠ACM)=90°,
∴△DCF是直角三角形;
(2)∵DF∥BC,
∴∠EDC=∠BCD,∠F=∠FCM,
∵DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,
∴∠ACD=∠BCD,∠ACF=∠FCM,
∴∠EDC=∠ACD,∠F=∠ACF,
∴ED=EC,EC=EF,
∴DE=EF.
分析:(1)由DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,根据角平分线的定义,可求得∠DCF=90°,即△DCF是直角三角形;
(2)由DF∥BC,DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,易得△CDE与△CEF是等腰三角形,继而证得结论.
点评:此题考查了等腰三角形的判定与性质以及角平分线的定义.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
∴∠ACD=∠ACB,∠ACF=∠ACM,
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=(∠ACB+∠ACM)=90°,
∴△DCF是直角三角形;
(2)∵DF∥BC,
∴∠EDC=∠BCD,∠F=∠FCM,
∵DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,
∴∠ACD=∠BCD,∠ACF=∠FCM,
∴∠EDC=∠ACD,∠F=∠ACF,
∴ED=EC,EC=EF,
∴DE=EF.
分析:(1)由DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,根据角平分线的定义,可求得∠DCF=90°,即△DCF是直角三角形;
(2)由DF∥BC,DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,易得△CDE与△CEF是等腰三角形,继而证得结论.
点评:此题考查了等腰三角形的判定与性质以及角平分线的定义.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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