Question

（2012•高邮市一模）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，若△ABC的面积为48cm²，则△DMN的面积为

2

cm²．

Answer 1

分析：由DE是△ABC的中位线，△ABC的面积为48cm²，易求得△ADE的面积，然后过点E作EF∥AB交CN于F，易求得△ACN的面积，即可求得△BCN的面积与MN：CN的值，又由△DMN∽△BCN，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△DMN的面积．

解答：解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

DE

BC

)2=

1

4

，
∵S_△ABC=48cm²，
∴S_△ADE=12cm²，
∴S_{四边形BCED}=S_△ABC-S_△ADE=48-12=36（cm²），
过点E作EF∥AB交CN于F，
∴EF是△ACN的中位线，∠NDM=∠FEM，
∴CF=FN，EF=

1

2

AN，
∵M是DE的中点，
∴DM=EM，
在△NDM和△FEM中，

∠NDM=∠FEM DM=EM ∠NMD=∠FME

，
∴△NDM≌△FEM（ASA），
∴FM=MN，S_{四边形AEFN}=S_△ADE=12cm²，
∴MN：CN=1：4，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAN，
∴

S△CEF

S△CAN

=(

EF

AN

)2=

1

4

，
∴S_△ACN：S_{四边形AEFN}=4：3，
∴S_△ACN=16cm²，
∴S_△BCN=S_△ABC-S_△ACN=32cm²，
∵DE∥BC，
∴△DMN∽△BCN，
∴

S△DMN

S△BCN

=(

MN

CN

)2=

1

16

，
∴S_△DMN=2cm²．
故答案为：2．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．