题目内容
如图，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转。
（1）在图①中，DE交AB于M，DF交BC于N。
①证明：DM=DN；
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图②的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图③的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。
解：（1）①证明：连结DB。在Rt△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC=AD ∠BDC=90° ∠ABD=∠C=45°
∵∠DMB+∠DNB=180°， ∴∠DMB=∠DNC
∴△BMD≌△CND ∴DM=DN
②四边形DMBN的面积不发生变化。
由①知△BMD≌△CND， ∴S△BMD= S△CND
∴S四边形DMBN= S△DBN+ S△BMD= S△DNB+ S△DNC= S△DBC=
（2）DM=DN仍然成立。
证明：连结DB，在Rt△ABC中， ∵AB=BC，BD=DC，
∴∠DBM=∠DCN=135° ∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=BDM ∴△CDN≌△BDM
∴DM=DN。
（3）DM=DN
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