Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点E运动到点B时停止，点F也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当点E由P向A运动过程中，请求出点H恰好落在AC边上时，t的值；
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）设AC的中点为N，是否存在这样的t，使△NEF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的性质即可求得t的值；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤

6

11

时；②当

6

11

＜t≤

6

5

时；③当

6

5

＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（3）以N为顶点，以F为顶点，以E为顶点，分三种情况讨论即可求得t的值．

解答：解：（1）依题意有

2t

2-t

=

6

8

，
解得t=

6

11

；      

（2）当正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状为正方形时，
0＜t≤

6

11

时，S=2t×2t=4t²；
当

6

11

＜t≤

6

5

时，
S=4t2-

1

2

[2t-

3

4

(2-t)]•

4

3

•[2t-

3

4

(2-t)]
=4t2-

2

3

(

11

4

t-

3

2

)2
=-

25

24

t2+

11

2

t-

3

2

；
当

6

5

≤t≤2时，
S=

1

2

[

3

4

(2-t)+

3

4

(2+t)]•2t=3t；

（3）t的值为

16

5

或2或

42

5

或

22

5

．

点评：此题主要考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、等腰三角形的性质、正方形及勾股定理的性质，分类思想的运用，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．