题目内容
一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ACB的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
（1）如图①，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为
（2）如图①中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图②，此时重叠部分的面积为
（3）如果将△MNK绕顶点M旋转到不同于的位置图①、图②，如图③，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
分析：（1）由等腰直角三角形的性质：底边上的中线与底边上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC=
AC=
a，则重叠部分的面积是△ACB的面积的一半，为
a2．
（2）易得重叠部分是正方形，边长为
a，面积为
a2．
（3）过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．
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（2）易得重叠部分是正方形，边长为
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（3）过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．
解答：解：（1）∵AM=MC=
AC=
a，
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为
a2．
（2）∵叠部分是正方形
∴边长为
a，面积为
a2．
（3）猜想：重叠部分的面积为
a2．
理由如下：
过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，
设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F，
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a
∴MH=MG=
a
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，即∠HME=∠GMF
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=
a×
a=
a2
∴阴影部分的面积是
a2．
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∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为
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（2）∵叠部分是正方形
∴边长为
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（3）猜想：重叠部分的面积为
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理由如下：
过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，
设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F，
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a
∴MH=MG=
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又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，即∠HME=∠GMF
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=
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∴阴影部分的面积是
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点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．
练习册系列答案
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如图所示，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动；将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．