Question

30、作图题（保留作图过程，并做简要说明）
（1）如图1，作出△ABC关于直线l的对称图形；
（2）“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A、B两个城镇（如图2），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
（3）河的一旁有两个村子A、B，要在河边建一水泵站引水到村里．一村民画了一张图（如图3），以直线l表示一条河，求做一点P，使P到A、B的距离和最短，作出P点，并用几何语言叙述你的理由．

Answer 1

分析：（1）从三角形各顶点向直线引垂线，找三点关于直线的轴对称点，然后顺次连接就是所画的图形．
（2）到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到A，B两点的距离相等又要画线段AB的垂直平分线，两线的交点就是点P的位置．
（3）根据轴对称的性质，三角形三边关系定理判定线段的大小．

解答：解：（1）如图所示；


（2）如图所示；


（3）如图所示；

解：在直线l上任取一点Q，连接AQ、BQ，
∵A、C两点关于直线l轴对称，
∴AP=PC，AQ=CQ，CP+PB=BC，
又在△BCQ中，由三边关系定理，得BQ+CQ＞BC，
即BQ+AQ＞CP+BP，
∴BQ+CQ＞AP+BP．

点评：此题主要考查了轴对称图形的性质、角平分线的性质及垂直平分线的性质和线段和最短的作法等知识，综合性较强，应熟练应用这些性质，解题的关键是根据“三角形两边之和大于第三边”，判断AP+BP最小．