Question

以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B。
（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动，若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是的切线，连接OQ，求∠QOP的大小；

（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被截得的弦长。

图二（备用图）

Answer 1

解：（1）如图一，连结AQ， 由题意可知：OQ=OA=1， ∵OP=2， ∴A为OP的中点， ∵PQ与相切于点Q， ∴为直角三角形， ∴， 即ΔOAQ为等边三角形， ∴∠QOP=60°；	图一
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点处（如图二）， 设直线PQ与的另外一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点， ∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2， ∴QP=， ∵， ∴OC=， ∵OC⊥QD，OQ=1，OC=， ∴QC=， ∴QD=。