题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为

2

-1，直线l：y=-x-

2

与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线ι与⊙B的位置关系，并说明理由．

分析：（1）已知直线l的解析式，分别令x=0和y=0，即可求出A、C点的坐标，进而确定∠CAO的度数．
（2）当⊙B第一次与⊙O相切时，即两圆外切，d=

2

-1+1=

2

，所以⊙B的圆心的坐标应为（1，1），所以第一次相切，是经过了3s，又因为直线ι绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，所以3s钟转了90°，此时，点B到直线的距离等于半径1，所以直线与⊙B相切．

解答：

解：（1）∵直线l的解析式是y=-x-

2

，
∴直线与y轴的交点坐标是（0，-

2

），
令y=0，则-x-

2

=0，解得，x=-

2

，
∴直线与x轴的交点是（-

2

，0）
∴OA=OC，所以∠CAO=45°．

（2）如图示，连接MB并延长，交旋转后的直线l于点N，过B作BP⊥AN于P，
当⊙B第一次与⊙O相切时，即两圆外切，
∴d=

2

-1+1=

2

，
∴⊙B的圆心的坐标应为（1，1），
∵点B的坐标为（4，1）
∴第一次相切，是经过了3s，
又∵直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，
∴3s钟转了90°，
由题意知，NM=AM=AO+OM=

2

+1，
∴NB=

2

，
∴BP=1，
即d=r=1，
此时，点B到直线的距离等于半径1，所以直线与⊙B相切．

点评：本题结合函数知识，考查了直线与圆的位置关系，判定直线与圆的位置关系，首先要确定圆心与直线的距离，然后用这个距离与半径进行比较．

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，点B的坐为

；
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阅读下面的材料：

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