Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．
（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比．
（3）首先根据B、C、M的坐标，求出BC²、BM²、CM²的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角顶点，所以要分三种情况讨论：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三种不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，进而可确定抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x²-2x-3）=m（x-1）²-4m，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）
∵抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x²-2x-3=0；
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）

（2）当x=0时，y=-3m，
∴点C的坐标为（0，-3m）．
∴S△ABC=

1

2

×|3-(-1)|×|-3m|=6|m|=6m．（5分）
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△OBC
=

1

2

BD?DM+

1

2

(OC+OM)?OD-

1

2

OB?OC
=

1

2

×2×4m+

1

2

(3m+4m)×1-

1

2

×3×3m
=3m．（7分）
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2，（8分）
故答案为：

1

2

；

（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线；
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m，
∴MN=DM-DN=m．
∴CM²=CN²+MN²=1+m²；
在Rt△OBC中，BC²=OB²+OC²=9+9m²，
在Rt△BDM中，BM²=BD²+DM²=4+16m²；
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM²+BM²=BC²，
即1+m²+4+16m²=9+9m²，
解得m=±

2

2

，
∵m＞0，∴m=

2

2

．
∴存在抛物线y=

2

2

x²-

2

x-

3 2

2

使得△BCM是Rt△；（10分）
②如果△BCM是Rt△，且∠BCM=90°，那么BC²+CM²=BM²，
即9+9m²+1+m²=4+16m²，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1；
∴存在抛物线y=x²-2x-3，使得△BCM是Rt△；
③如果△BCM是Rt△，且∠CBM=90°，那么BC²+BM²=CM²，
即9+9m²+4+16m²=1+m²，整理得m2=-

1

2

，此方程无解；
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在；
综上所述，存在抛物线y=

2

2

x²-

2

x-

3 2

2

和y=x²-2x-3，使得△BCM是Rt△．（12分）

点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知识；需要注意的是（3）题中，由于直角三角形的直角顶点不确定，一定要分类讨论，以免漏解．