题目内容

如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点,其顶点P在折线C-D-E上移动,若点C、D、E的坐标分别为(-1,4)、(3,4)、(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为( )

A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】分析:抛物线在平移过程中形状没有发生变化,因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变.首先,当点B横坐标取最小值时,函数的顶点在C点,根据待定系数法可确定抛物线的解析式;而点A横坐标取最大值时,抛物线的顶点应移动到E点,结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式,进一步能求出此时点A的坐标,即点A的横坐标最大值.
解答:解:由图知:当点B的横坐标为1时,抛物线顶点取(-1,4),设该抛物线的解析式为:y=a(x+1)2+4,代入点B坐标,得:
0=a(1+1)2+4,a=-1,
即:B点横坐标取最小值时,抛物线的解析式为:y=-(x+1)2+4.
当A点横坐标取最大值时,抛物线顶点应取(3,1),则此时抛物线的解析式:y=-(x-3)2+1=-x2+6x-8=-(x-2)(x-4),即与x轴的交点为(2,0)或(4,0),
∴点A的横坐标的最大值为2.
故选B.
点评:考查了二次函数综合题,解答该题的关键在于读透题意,要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化,改变的是顶点坐标.注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置,前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果.
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