题目内容

如图，直线l：y=
1
3
x+
1
4
经过点M，一组抛物线的顶点B1（1，y），B2（2，y2），B3（3，y3），…，Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）．
（1）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；
（2）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”，那么当d的大小在0＜d＜1范围内变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．
分析：（1）把B1（1，y1）代入一次函数式，可求出y1=
7
12
，根据图象可知，经过A1、B1、A2的二次函数的顶点就是B1，故其对称轴就是x=1，那么可设函数解析式为：y=a（x-1）2+
7
12
再把A1的坐标代入函数式，可求出a的值，那么就可得到二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的对称性，可知所得直角三角形必是等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半，先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．
解答：解：（1）由题意得：y=
1
3
x+
1
4
，
∵B1（1，y1）在直线l上，
∴当x=1时，y1=
1
3
×1+
1
4
=
7
12
，
故可得B1的坐标为（1，
7
12
），
设抛物线表达式为：y=a（x-1）2+
7
12
（a≠0），
又∵x1=d，
∴A1的坐标为（d，0），
∴0=a（d-1）2+
7
12
，
∴a=-
7
12(d-1)2
，
∴经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式为：y=-
7
12(d-1)2
（x-1）2+
7
12
．
（2）存在美丽抛物线．
由（1）可得B1（1，
7
12
），B2（2，
11
12
），
∵A1（d，0），
∴A2（2-d，0），
①若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1-d=
7
12
，
解得：d=
5
12
；
②若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2-（2-d）=
11
12
，
解得：d=
11
12
；
③若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
综上可得存在d，d的值为
5
12
或
11
12
．
点评：本题属于二次函数综合题，涉及了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨论，此题综合性强，难度较大．
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