Question

【题目】如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC=PB，连结AC．

（1）求证：AB=AC.
（2）若AB=4,∠ABC=30°，①求弦BP的长；②求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AP,则AP 因为PC＝PB，所以AB＝AC.

（2）
解： ,得BP＝2

【解析】（1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB=90°，得出AP⊥BC，再由PC=PB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得出结论。
（2）①先根据直角三角形的性质，即30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AP的长，再由解直角三角形或勾股定理可得出PB的长；
②连接OP，根据直角三角形的性质求出△PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S阴影=S扇形BOP-S△POB即可得出结论。