题目内容
【题目】如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；②当x= 
时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 
；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确结论是________．（填序号）
【答案】①④
【解析】
先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x=1时，求出
，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x赋予的值，即可求出EF，GH，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④正确．
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，
∵
∴
由折叠知，△BEF是等边三角形，
当x=1时，则AE=1，
∴BE=ABAE=1，
由折叠知,
∴点P是菱形ABCD的对角线的交点，
即：点P是菱形ABCD的中心，所以①正确，
如图，
∵AE=x，
∴BE=ABAE=2x，
∵△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=2x，
∴
∴
∴
∴
∴
当
时,
∴
∵△BEF是等边三角形，
∴
∴
∴
∴EF+GH=2=AC，所以②错误；
当0<x<2时，
∵AE=x，
∴BE=2x，
∴EF=2x，
∴
∴
∴
∴六边形AEFCHG面积=S菱形ABCDS△BEFS△DGH
∴当x=1时,六边形AEFCHG面积最大为
，所以③错误，
六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=x+2x+x+2x+x+2x=6是定值，
所以④正确，即：正确的有①④，
故答案为:①④.
练习册系列答案
第1卷单元月考期中期末系列答案
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