Question

如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．
（1）证明：BE=AG；
（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵BG⊥CE，
∴∠BOC=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
在△GAB和△EBC中，
∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，
∴△GAB≌△EBC（ASA）．
∴AG=BE．

（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB．理由如下：
当点E位于线段AB中点时，AE=BE；
由（1）知，AG=BE，
∴AG=AE；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAF=∠EAF=45°；
又∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS）；
∴∠AGF=∠AEF；
由（1）知，△GAB≌△EBC；
∴∠AGF=∠CEB；
∴∠AEF=∠CEB．
分析：（1）要证明AG=BE，只要证明三角形ABG和EBC全等即可．两三角形中已知的条件有一组直角，AB=BC，只要再得出一组对应角相等即可．我们发现∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2，这样就构成了两三角形全等的条件ASA，因此两三角形全等．
（2）要求E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，我们先看若两角相等能得出什么．若∠AEF=∠CEB，由（1）中的全等三角形我们可得出∠AGF=∠CEB，因此∠AEF=∠AGF，三角形GFA和AEF中，有一条公共边，∠DAC=∠CAB=45°，因此两三角形全等，那么AG=AE，由（1）知AG=BE，因此AE=BE，那么只有AE=BE时，∠AEF=∠CEB．
点评：本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质等知识点，利用全等三角形来得出线段相等是这类题的常用方法．