题目内容

在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，…，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”．例如：旧数26的新数为26²÷100=6.76
（1）经过上述规则变换后，有人断言：“按照上述变换规则，所有的新数都小于它的旧数．”你认为这种说法对吗？请说明理由，若不对，请举一反例说明．
（2）请求出按照上述规则变换后减小了最多的旧数（要写出解答过程）．

解：（1）不对．　理由如下：
设这个数为x，按照游戏的变换规则得x²=100x，
解得：x₁=0，x₂=100，
∵0²÷100=0，100²÷100=100，
∴0和100的新数等于它的旧数，不小于它的旧数，
∴这种说法不正确．
（2）设旧数为x，旧数与新数之差为y，
则y=x- $\text{[math]}$ ，化成顶点式y=- $\text{[math]}$ （x-50）²+25，
∵a=- $\text{[math]}$ ，
∴x=50时，y的值最大25，
因此，减小了最多的旧数是50．
分析：（1）这种说法不对，设这个数为x，按照游戏的变换规则得到x²=100x，解得x₁=0，x₂=100，因为0和100的新数等于它的旧数，不小于它的旧数，所以这种说法不正确；
（2）设减少的量为y，根据题意得y=x- $\text{[math]}$ ，然后化成顶点式y=- $\text{[math]}$ （x-50）²+25，根据二次函数的性质即可得到当x=50时，y有最大值为25．
点评：本题考查了二次函数的顶点式：y=a（x-k）²+h，当a＜0，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．