Question

已知抛物线y=2x²-2（m-1）x-m．
（1）求证：无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、点B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂．
①当OA+OB=2时，求此抛物线的解析式；
②若抛物线与y轴交于点C，是否存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形；若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵和抛物线y=2x²-2（m-1）x-m对应的一元二次方程为2x²-2（m-1）x-m=0，
∵△=4（m-1）²+8m=4m²+4，
∵m²≥0，
∴4m²+4＞0，
∴△＞0，
∴方程2x²-2（m-1）x-m=0必有两个不相等的实数根，
∴无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点．

（2）由题意可知x₁，x₂是方程x²-4x+3（m-1）=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-，
①∵x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂，
∴OA+OB=-x₁+x₂，
∴-x₁+x₂=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（m-1）²-4×（-）=4，
解得：m=±，
∵x₁•x₂＜0，
∴m＞0，
∴m=，
∴所求抛物线的解析式为y=2x²-2（-1）x-，
②设存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形，
∵点A、B分别在原点的两侧，点C（0，-m），
∴只可能有∠ACB=90°，
又∵点A（x₁，0）、点B（x₂，0），且AC²+BC²=AB²，
∴x₁²+m²+x₂²+m²=（x₂-x₁）²，
∴m²=，
解得m=0或m=
但m=0不合题意，舍去，
∴m=，
∴y=2x²+x-，
∴存在抛物线y=2x²+x-，使△ABC为直角三角形
分析：（1）首先由和抛物线y=2x²-2（m-1）x-m对应的一元二次方程为2x²-2（m-1）x-m=0，根据判别式△，即可确定方程2x²-2（m-1）x-m=0必有两个不相等的实数根，则可得无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）①由题意可知x₁，x₂是方程x²-4x+3（m-1）=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-，又由OA+OB=-x₁+x₂，可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即可求得m的值，求得此抛物线的解析式；
②设存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形，由点A、B分别在原点的两侧，点C（0，-m），可得只可能有∠ACB=90°，又由点A（x₁，0）、点B（x₂，0），且AC²+BC²=AB²，即可求得存在抛物线y=2x²+x-，使△ABC为直角三角形．
点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的联系，根与系数的关系，判别式的应用，以及勾股定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是要注意方程思想与数形结合思想的应用．