题目内容
（2013•福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=| 3 |
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求
 |
| BN |
分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；
其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=
=
；
最后，由弧长公式l=
计算
的长．
（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；
其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=
| EN |
| sin∠EON |
2
| ||
| 3 |
最后，由弧长公式l=
| nπr |
| 180 |
|
| BN |
解答：
（1）证明：如图，
∵ME=1，AM=2，AE=
，
∴ME2+AE2=AM2=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON．
在Rt△AEM中，sinA=
=
，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴
=
，EN=EM=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON=
，
∴ON=
=
，
∴
的长度是：
•
=
π．
（1）证明：如图，∵ME=1，AM=2，AE=
| 3 |
∴ME2+AE2=AM2=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON．
在Rt△AEM中，sinA=
| ME |
| AM |
| 1 |
| 2 |
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴
|
| BN |
|
| BM |
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON=
| EN |
| ON |
∴ON=
| EN |
| sin∠EON |
2
| ||
| 3 |
∴
|
| BN |
| 60•π |
| 180 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 9 |
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
练习册系列答案
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案
相关题目
（2013•福州）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是
（2013•福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
（2013•福州）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ）
（2013•福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．