Question

【题目】如图，AB为☉O的直径，CD与☉O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE，交☉O于点F，交切线于点C，连接AC.

（1）求证：AC是☉O的切线；

（2）连接EF，当∠D= °时，四边形FOBE是菱形.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）30.

【解析】

（1）利用切线的性质得∠CEO=90°，再证明△OCA≌△OCE得到∠CAO=∠CEO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）利用四边形FOBE是菱形得到OF=OB=BF=EF，则可判定△OBE为等边三角形，所以∠BOE=60°，然后利用互余可确定∠D的度数．

（1）证明：∵CD与⊙O相切于点E，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO=90°，

又∵OC∥BE，

∴∠COE=∠OEB，∠OBE=∠COA

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠COE=∠COA，

又∵OC=OC，OA=OE，

∴△OCA≌△OCE（SAS），

∴∠CAO=∠CEO=90°，

又∵AB为⊙O的直径，

∴AC为⊙O的切线；

（2）∵四边形FOBE是菱形，

∴OF=OB=BF=EF，

∴OE=OB=BE，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE=60°，

而OE⊥CD，

∴∠D=30°．