题目内容

如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A?B?C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线 $数学公式$ 经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标；
（3）当0＜t≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为 $数学公式$ ， $数学公式$ ．

解：（1）由抛物线经过点A（0，1），C（2，4），
得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线对应的函数关系式为：y=- $\text{[math]}$ x²+2x+1．

（2）当t=1时，P点坐标为（1，1），
∴Q点坐标为（2，0）．
当t=4时，P点坐标为（2，3），
∴Q点坐标为（5，0）．

（3）∵0＜t≤5，

当0＜t≤2时，S= $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ t²+2t+1-1）×1，
S=- $\text{[math]}$ t²+t=- $\text{[math]}$ （t-4）²+2，
∵t=4不在0＜t≤2中，
∴当t=2时（如图所示），S的最大值为1.5；
当2＜t≤5时，S= $\text{[math]}$ （5-t）（2+t-2+1-2），
S=- $\text{[math]}$ t²+3t- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （t-3）²+2，
因此当t=3时，S的最大值为2．
综上所述，S的最大值为2．
分析：（1）由于抛物线过A、C两点，因此可根据A、C的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）当t=1时，P在AB上，AP=1因此P点的坐标为（1，1）；Q点坐标为（2，0）．
当t=4时，此时P在BC上，且BP=4-AB=2，P点的坐标为（2，3）；Q点的坐标为（5，0）
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当P在AB上时，即当0＜t≤2时，AP=t，OQ=t+OA=t+1，MQ=t+1-t=1，将P的横坐标即t代入抛物线的解析式中即可求出R的纵坐标的值即RM的长．进而可求出PR的长，由此可根据S_△RPQ= $\text{[math]}$ RP•MQ= $\text{[math]}$ PR，求出S与t的函数关系式，进而可根据函数的性质求出S的最大值．
②当P在BC上时，即当2＜t≤5时，BP=t-AB=t-2，PM=t-AB+OA=t-1．而此时R与C重合，因此RM=4，因此RP=5-t，而
QM=OQ-AB=2+（t-2+1）-2=t-1．然后根据①的方法即可求出S的最大值．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用；在（3）题中要根据P点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．