题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F,线段FD,AB的延长线相交于点G.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接AD、OD,由AB为直径可得出点D为BC的中点,由此得出OD为△BAC的中位线,再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF,从而证出DF是⊙O的切线;
(2)CF=1,DF=,通过解直角三角形得出CD=2、∠C=60°,从而得出△ABC为等边三角形,再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积.
试题解析:(1)证明:连接AD、OD,如图所示.
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AC=AB,∴点D为线段BC的中点.
∵点O为AB的中点,∴OD为△BAC的中位线,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线.
(2)解:在Rt△CFD中,CF=1,DF=,∴tan∠C==,CD=2,∴∠C=60°,∵AC=AB,∴△ABC为等边三角形,∴AB=4.∵OD∥AC,∴∠DOG=∠BAC=60°,∴DG=ODtan∠DOG=,∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DGOD﹣=.
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