Question

已知反比例函数y₁=

k

x

的图象经过点A（4，

1

2

），若一次函数y₂=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m）
（1）求平移后的一次函数的解析式；
（2）若反比列函数y₁=

k

x

与一次函数y₂=x+1交于点C和D．求点C、D的坐标；
（3）问当x在什么范围时y₁＞y₂；
（4）求△CDB的面积．

Answer 1

分析：（1）设平移后的一次函数关系式为y=x+b根据已知的点的坐标，代入函数关系式中，即可得处于函数式；将点B的坐标代入关系式中，可得出m的值，代入一次函数式中，可得到k，即可得出平移后的一次函数关系式；
（2）由可得出反比例函数的关系式，联立两方程即可得出C、D的坐标；
（3）根据函数图象，即可求得答案；
（4）已知三点的坐标，利用两点间的距离公式，得出其中一边；再利用点到直线的距离，得出对应边上的高，代入三角形的面积公式即可得出△CDB的面积．

解答：解：（1）设平移后的一次函数关系式为y=x+b；
根据题意，知反比例函数y₁=

k

x

的图象经过点A（4，

1

2

），
即有

1

2

=

k

4

，即k=2，
即有y₁=

2

x

，
将B（2，m）代入上述关系式中，
可得m=1，
即B（2，1），代入y=x+b中，
得b=-1
即平移后的一次函数关系式为y=x-1；

（2）根据题意，

y1= 2 x y2=x+1

，
解之得x₁=1，y₁=2，
x₂=-2，y₂=-1，
即C（1，2）、D（-2，-1）；

（3）如图：当x＜-2或0＜x＜1时，y₁＞y₂；

（4）有上可知点B（2，1）、C（1，2）、D（-2，-1），
即有CD=3

2

，
又∵点B到一次函数y₂=x+1的距离d=

2

，
即S_△CDB=

1

2

CD•d=3．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点坐标的求法，先利用反比例函数解析式求出m的值是解本题的关键；本题涉及知识点较多，难度稍大，综合性较强，要注意对各个知识点的灵活应用．