题目内容
(2012•高邮市一模)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,过点A作直线MN⊥AC,点P是直线MN上的一个动点(与点A不重合),连接CP交AB于点D,设AP=x,AD=y.
(1)如图1,若点P在射线AM上,求y与x的函数解析式;
(2)射线AM上是否存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似,若存在,求AP的长,若不存在,说明理由;
(3)如图2,过点B作BE⊥MN,垂足为E,以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PD为半径的动⊙P相切,求⊙P的半径.
(1)如图1,若点P在射线AM上,求y与x的函数解析式;
(2)射线AM上是否存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似,若存在,求AP的长,若不存在,说明理由;
(3)如图2,过点B作BE⊥MN,垂足为E,以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PD为半径的动⊙P相切,求⊙P的半径.
分析:(1)先根据相似三角形的判定定理得出△APD∽△BCD,故
=
,再在Rt△ABC中,根据勾股定理得出AB的长,AP=x,AD=y,即可得出BD=AB-AD=10-y,故可得出结论;
(2)假设射线AM上存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似,由AM∥BC,可知∠B=∠BAE,再由∠ACB=90°,∠APD≠90°,可得出△ABC∽△PAD,故
=
,进而可得出结论;
(3))由⊙C与⊙P相切,可得AP=x,可分四种情况进行讨论:
①点P在射线MA上,当⊙C与⊙P外切时,PE=x+8,PC=x+8-6=x+2,在直角三角形PAC中,由AC2+AP2=PC2,可得x2+62=(x+2)2,故可得出x的值;
②当⊙C与⊙P内切时,PE=x-8,PC=x-8-6=x-14,在直角三角形PAC中,AC2+AP2=PC2,即x2+62=(x-14)2,故可得出x的值.
AP |
BC |
AD |
BD |
(2)假设射线AM上存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似,由AM∥BC,可知∠B=∠BAE,再由∠ACB=90°,∠APD≠90°,可得出△ABC∽△PAD,故
AB |
BC |
PA |
AD |
(3))由⊙C与⊙P相切,可得AP=x,可分四种情况进行讨论:
①点P在射线MA上,当⊙C与⊙P外切时,PE=x+8,PC=x+8-6=x+2,在直角三角形PAC中,由AC2+AP2=PC2,可得x2+62=(x+2)2,故可得出x的值;
②当⊙C与⊙P内切时,PE=x-8,PC=x-8-6=x-14,在直角三角形PAC中,AC2+AP2=PC2,即x2+62=(x-14)2,故可得出x的值.
解答:解:(1)∵AM⊥AC,
∴∠CAM=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠CAM+∠ACB=180°,
∴AM∥BC,
∴∠BCP=∠APC,∠CBA=∠BAP,
∴△APD∽△BCD,
∴
=
,
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
根据勾股定理得:AB=
=10,
又∵AP=x,AD=y,
∴BD=AB-AD=10-y,
∴
=
,
则y=
(x>0);
(2)假设射线AM上存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似,
∵AM∥BC,
∴∠B=∠BAE,
∵∠ACB=90°,∠APD≠90°,
∴△ABC∽△PAD,
∴
=
,
∴
=
,
解得:x=4.5,
∴当AP的长为4.5时,△ABC∽△PAD;
(3)∵⊙C与⊙P相切,AP=x,
①点P在线AE上,当⊙C与⊙P外切时,PE=x+8,PC=x+8-6=x+2,
在直角三角形PAC中,AC2+AP2=PC2,
∴x2+62=(x+2)2,
解得:x=8,
∴⊙P的半径为16;
②当⊙C与⊙P内切时,PE=x-8,PC=x-8-6=x-14,
在直角三角形PAC中,AC2+AP2=PC2,
∴x2+62=(x-14)2,
解得:x=
;
③点P在射线EM上时,⊙C与⊙P不可能相切.
∴当⊙C与⊙P相切时,⊙P的半径为16或
.
∴∠CAM=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠CAM+∠ACB=180°,
∴AM∥BC,
∴∠BCP=∠APC,∠CBA=∠BAP,
∴△APD∽△BCD,
∴
AP |
BC |
AD |
BD |
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
根据勾股定理得:AB=
AC2+BC2 |
又∵AP=x,AD=y,
∴BD=AB-AD=10-y,
∴
x |
8 |
y |
10-y |
则y=
10x |
x+8 |
(2)假设射线AM上存在一点P,使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似,
∵AM∥BC,
∴∠B=∠BAE,
∵∠ACB=90°,∠APD≠90°,
∴△ABC∽△PAD,
∴
AB |
BC |
PA |
AD |
∴
10 |
8 |
x | ||
|
解得:x=4.5,
∴当AP的长为4.5时,△ABC∽△PAD;
(3)∵⊙C与⊙P相切,AP=x,
①点P在线AE上,当⊙C与⊙P外切时,PE=x+8,PC=x+8-6=x+2,
在直角三角形PAC中,AC2+AP2=PC2,
∴x2+62=(x+2)2,
解得:x=8,
∴⊙P的半径为16;
②当⊙C与⊙P内切时,PE=x-8,PC=x-8-6=x-14,
在直角三角形PAC中,AC2+AP2=PC2,
∴x2+62=(x-14)2,
解得:x=
16 |
7 |
③点P在射线EM上时,⊙C与⊙P不可能相切.
∴当⊙C与⊙P相切时,⊙P的半径为16或
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7 |
点评:本题考查的是相似三角形的综合题,涉及到相似三角形的判定与性质及勾股定理,在解答(3)时要注意进行分类讨论,不要漏解.
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