Question

如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在A′处．
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予说明．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；
（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．
解答：（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=B′E，
∴B′E=BF；

（2）a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a²+b²=c²．
证明：连接BE，则BE=B′E，
∵由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE²+AB²=BE²，
∵AE=a，AB=b，
∴a²+b²=c²；

（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．
证明：连接BE，则BE=B′E．
∵由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
∵在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．
点评：此题主要考查了矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，利用等角对等边、翻折等知识来证明是解题关键．