Question

（本题10分） 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点得四边形EFGH．如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；
【小题1】（1）如图2，当四边形ABCD为矩形时，则四边形EFGH的形状是    ；（1分）
【小题2】（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
【小题3】① 试用含的代数式表示∠HAE=              ；（1分）
【小题4】② 求证：HE=HG；（4分）③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．（4分）

Answer 1

【小题1】（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．
【小题2】（2）解：①∠HAE=90°+a
【小题3】证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE= AB，DG= CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，…………………………………………3分
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，……………………………4分
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDG，……………………………………………………………5分
∴HE=HG．………………………………………………………………………6分
【小题4】答：四边形EFGH是正方形，………………………………………………7分
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，………………………………………8分
∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，…………………………………………………………9分
∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．………………………………………………………10分

解析