题目内容

如图，已知反比例函数 $数学公式$ 的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A，B两点，A（1，n），B（- $数学公式$ ，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点B（- $\text{[math]}$ ，-2）在反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上，
∴ $\text{[math]}$
∴k₁=2
∴反比例函数的解析式为 $\text{[math]}$ ，
又∵A（1，n）在反比例函数图象上，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴n=1；
∴A点坐标为（1，1）；

∴一次函数y=k₂x+b的图象经过点A（1，1），B（- $\text{[math]}$ ，-2）；
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ；
∴一次函数的解析式为y=2x-1；

（2）存在符合条件的点P．
若OA=OP，则P（ $\text{[math]}$ ，0）或（- $\text{[math]}$ ，0），
若AP=OA，则P（2，0），
若OP=AP，则（1，0），
可求出点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），（- $\text{[math]}$ ，0），（2，0），（1，0）．
分析：（1）把点B（- $\text{[math]}$ ，-2）坐标代入反比例函数 $\text{[math]}$ ，求出反比例函数解析式．再求出A（1，n）的坐标，根据A、B的坐标，即可求得一次函数的解析式；
（2）以O为圆心，OA为半径，交x轴于两点，这两点均符合点P的要求．以A为圆心，AO为半径，交x轴于一点，作AO的垂直平分线，交x轴于一点，因此共有4个符合要求的点．
点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意（2）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．